有限数学示例

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

解题步骤 2

化简 $\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

解题步骤 2.1.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

解题步骤 2.1.2

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} - 1 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$2 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.3

组合 $2$ 和 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1)) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 2) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1

运用分配律。

$\frac{2 x (x - 1) + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.4.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.4.3

将 $2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.5

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.3

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.9.3.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.9.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4.1.2

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.9.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 0 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.4.3

将 $- x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.5

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + x + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 2.9.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

解题步骤 3

将分子设为等于零。

$x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 4.4.1

化简分子。

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解题步骤 4.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.4.5

从 $i \sqrt{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 4.4.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 4.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.5.5

从 $- i \sqrt{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 4.5.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 4.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

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